Présentation

Licence Mathématiques Parcours Préparatoire Professorat des Ecoles (PPPE)Ouverture septembre 2021

Objectifs

• Acquérir les connaissances essentielles et comprendre les principes et les concepts fondamentaux des Mathématiques.
• S’initier à la rigueur et à la démarche scientifique.
• Acquérir des compétences en Français (Etude de la langue et littérature, Atelier d'écriture),
• Acquérir des compétences complémentaires nécessaires à un futur professeur d’école en Histoire-Géographie, Philosophie morale et politique (laïcité, valeurs de la République...), Sciences et Technologie, Arts plastiques et Education musicale et dans une langue vivante.

Pour qui ?

Public visé

Titulaires du baccalauréat avec un très bon niveau en mathématiques

Pré-requis

Conditions d'admission

Candidatures sur parcoursup

Et après ?

Poursuite d'études

Cette licence a pour objectif l’entrée en master MEEF premier degré pour préparer le concours de professeur des écoles.
Avec éventuellement une année supplémentaire, elle pourra permettre l’entrée dans d’autres masters.

Débouchés

Professeur des écoles

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Programme

Licence Mathématiques Parcours Préparatoire Professorat des Ecoles (PPPE)Ouverture septembre 2021

Programme

Les  enseignements se répartiront entre le lycée Claude Fauriel et la faculté des sciences et techniques de St-Etienne.

• En première année,  75 % des cours auront lieu au lycée  et  25% à la faculté des sciences et techniques. Il y aura  28 semaines de cours et 3 semaines de stage en école.
• En deuxième année,  50% des cours auront lieu au lycée et  50%  à la faculté des sciences et techniques. Il y aura  28 semaines de cours et 3 semaines de stage en école.
• En troisième année, 25% des cours auront lieu au lycée  et 75% à la faculté des sciences et techniques. Il y aura 27 semaines de cours et 4 semaines de mobilité à l’étranger sous la forme :
  soit d’un stage de renforcement linguistique à l'étranger pour les étudiants ayant besoin de renforcer leurs acquis linguistiques
  soit d’un stage d'observation d'un autre système éducatif (en langue étrangère) pour les étudiants présentant un niveau en langue avéré.

Ce programme est donné à titre indicatif et est susceptible d’être modifié.

Licence 1ère année

Licence 2ème année

Licence 3ème année

En plus des enseignements, des temps d'échanges avec des professionnels et des conférences seront organisés.

Contenu des enseignements

Première année 

Partie université 

UE de fondements mathématiques S1 

• Méthodes de démonstration: Récurrence, absurde, contraposée, analyse/synthèse, disjonction de cas ; il s’agit d’une présentation de chaque méthode, illustrée par des exemples.
• Théorie des ensembles : sous ensemble, inclusion, appartenance, application, ensemble image, ensemble image réciproque, application injective, surjective, bijective, composée d’applications, application réciproque. Exemples d’ensembles N, Z, Q et R.
• Structures ensemblistes :
• Groupe, exemple du groupe symétrique
• Corps
• Relations d’ordre, d’équivalence
• Z/nZ

UE Outils maths 

• Etude de fonctions :
  • Ensemble de définition
  • Limites , croissances comparées de terminales
  • Dérivée
  • Tableau de variation
  • Recherche d’asymptotes oblique, horizontales, verticales
  • Points d’inflexion
  • Fonctions convexes : donner la définition et le th dans le cas f dérivable, à dérivée croissante implique f convexe (pas de démonstration)
  • Exemples :
    Fonctions trigonométriques : sinus, cosinus, tangente, cotangente
    Fonction exponentielle, fonction ln, ch, sh, th

• Calcul d’aires avec les primitives : révisions de Terminales
• Nombres complexes

UE Algèbre linéaire 1

• Matrices - Opérations sur les matrices
• Résolution d’un système d’équations linéaires : Méthode du pivot de Gauss
• Résolution d’un système d’inéquations
• Espaces vectoriels : Familles libres, génératrices, bases, dimension d’un ev, existence d’une base en dim finie
• Applications linéaires : Th du rang, Matrice d’une application linéaire, Changement de base pour l’écriture d’une matrice d’une application linéaire, Equations différentielles linéaires du premier et second ordre
• Déterminant 2x2, 3x3 …

Partie lycée :

• Les fractions, les nombres décimaux et les nombres réels : contenu de l1
• Calcul littéral : Développement et factorisation, identités remarquables, mise en équation, résolution d’équations du premier degré, résolution d’inéquations du premier degré, mise en inéquation, intervalles de R
• Equations et inéquations du second degré
• Fonctions : Notion de fonction, image et antécédent ; représentation graphique de fonctions. Exemples de fonctions : carrée, cube, polynômes, racine carré, affines. Sens de variation d’une fonction.
• Les nombres entiers naturels : juste notion de base (base 1 à 2) et notion de numération additionnelle ou positionnelle
• Suites : Notion de suite, sens de variation, introduction intuitive de la notion de limite finie ou infinie
• Géométrie
• Algorithmique et programmation
• Exercices sur les complexes en appui de l’UE outils maths

Deuxième année

Partie université

UE Géométrie 1, S3
Prérequis : Géométrie vue au lycée, UE Algèbre linéaire 1
Programme :

• Espaces affines: définition, sous-espaces affines , dimension, intersection, sous-espace affine engendré, parallélisme, position relative de deux sous-espaces affines
• Géométrie analytique affine: repères cartésiens, équations d'hyperplans affines, de droites affines dans un plan, de plans et de droites dans un espace affine de dimension 3, changement de repère cartésien
• Barycentres : définition, théorème d'associativité, coordonnées barycentriques, équation barycentrique d'un hyperplan affine
• Applications affines: définitions et propriétés, caractérisation par les barycentres, translations et homothéties, projections, affinités et symétries
• Théorèmes classiques de la géométrie affine : Thalès, Ménélaüs, Céva, Pappus, Desargues.  

UE Algèbre linéaire 2,  S3
Prérequis :  UE Algèbre linéaire 1, la partie polynôme de l’UE cryptologie
Programme :

• Groupe symétrique- Décomposition d’une permutation
• Formes multilinéaires
• Déterminants 
• Dualité en dimension finie 
• Réductions des endomorphismes: vecteurs propres, valeurs propres, polynôme caractéristique et polynôme minimal, diagonalisation, trigonalisation
• Matrices symétriques, normes matricielles
• Programmation :
  Résolution de systèmes linéaires, Gauss, Choleski, Gauss-Seidel, Jacobi,
  Méthode du gradient conjugué

UE Analyse 1, S4
Prérequis : UE Mathématiques du semestre 1
Programme :

• Propriétés de l’ensemble des nombres entiers, rationnels et réels 
• Suites numériques réelles 
• Propriétés des fonctions réelles: Continuité, Théorème des VI, Dérivabilité, Fonctions C^n, Th de Rolle, Th des AF, Théorème du point fixe   exemples des suites récurrentes, Fonctions trigonométriques réciproques arcos, arcsin, arctan, Formules de Taylor
  Développements limités

Partie lycée 

• Grandeurs et mesures
• Statistiques, dénombrement et probabilités :
• Les nombres entiers naturels
• Proportionnalité et pourcentages : La proportionnalité et les fonctions linéaires, les pourcentages, Taux d’évolution, taux réciproque, évolutions successives
• Géométrie :
  Solides usuels (cube, pavé droit, cylindre, pyramide, cône, sphère et  boule) : volume
  Patrons de cubes, de pavés droits, de  cylindres, de pyramides et de cônes
• Algorithmique et programmation

Troisième année 

Partie université 

Analyse 2, S5
Prérequis : UE Mathématiques du semestre 1 et UE Analyse 1
Programme :

• Equivalents
• Continuité uniforme,
• Théorème fondamentale du calcul intégral (Si une fonction est continue alors x est dérivable, de dérivée f(x).
• intégrale de Riemann,
• Séries numériques, (produit de Cauchy), théorème d’Abel, séries alternées, majoration des restes
• Intégrales généralisées.

Fonctions de Plusieurs variables, S5
Prérequis : UE Analyse 1
Programme :

• Normes dans R^n, équivalence de toutes les normes dans R^n
• Fonctions de R^{n} dans R^{p}, fonctions de classe C^1
• Continuité, dérivées directionnelles, dérivées partielles, différentiabilité,  dérivation partielle  des fonctions composées.
• Théorème des accroissements finis de R^{n} dans R^{p}, différentielles d’ordre 2
• Dérivées partielles d'ordre 2, et théorème de Schwarz.
• Formules de Taylor d’ordre 2 pour des fonctions de R^n dans R
• courbes paramétrées et calcul d’intégrales curviligne (longueur d’une courbe paramétrée)

Cryptologie S5
Prérequis : aucun
Programme :

• Généralités (Histoire, contexte actuel, exemples d'utilisation...)
• Méthodes élémentaires (César, Permutation, Vigenère...)
• Formalisation de la cryptographie (crypto-systèmes), chiffrements mono et polyalphabétique, formalisation de la cryptanalyse et exemples (tables de fréquences, Kasiaski...)
• Rappels et approfondissements d'algèbre: polynômes, relations d'équivalence, groupes anneaux et corps, arithmétique des entiers et des polynômes, exemples de structures quotients Z/nZ et F_p[X]/(P).
• Cryptographie à clé publique: principe, exemple avec le problème de factorisation (RSA) ou du logarithme discret (Diffie-Hellman, El-Gamal).
• Algorithmique et cryptanalyse en PYTHON: implémentation effective d'outils permettant de casser des messages cryptés avec des méthodes mono ou polyalphabétique (ex: Vigenère)

Analyse 3, S6
Prérequis : UE Analyse 1 et 2
Programme :

• Suites et séries de fonctions, convergence simple, normale, uniforme
• théorème d’approximation de Weierstrass
• séries entières,
• séries de Fourier,
• intégrales dépendant d’un paramètre

Algèbre bilinéaire, S6
Prérequis : UE Algèbre linéaire 1 et 2
Programme :

• Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques
• Formes sesquilinéaires hermitiennes
• Espaces euclidiens, hermitiens
• Normes euclidiennes
• Classification des isométries en dimension 2 et 3.

Géométrie  2, S6
Prérequis : géométrie vue en cours de mathématiques au collège en Quatrième et Troisième, UE Outils mathématiques du S1
Programme :

• Géométrie du triangle
• Emploi des nombres complexes en géométrie,
• groupe circulaire, homographies
• Polygones réguliers

Partie lycée 

• Les nombres entiers naturels : pgcd et ppcm, nombres premiers entre eux
• Les fractions, les nombres décimaux et les nombres réels
• Proportionnalité et pourcentages : Indices, échelles, agrandissement et réduction d’une figure ou d’un solide
• Géométrie : Transformations : symétrie axiale, symétrie centrale, translation, rotation
• Algorithmique et programmation